Question

【題目】若一個正整數能表示為兩個正整數的平方差,則稱這個正整數為“智慧數”（如,）.已知智慧數按從小到大的順序構成如下數列：則第個智慧數是__________.

Answer 1

【答案】2695

【解析】

如果一個數是智慧數，就能表示為兩個正整數的平方差，設這兩個數分別m、n，設m＞n，即智慧數=m2-n2=（m+n）（m-n），因為m，n是正整數，因而m+n和m-n就是兩個自然數．要判斷一個數是否是智慧數，可以把這個數分解因數，分解成兩個整數的積，看這兩個數能否寫成兩個正整數的和與差．

解：1不能表示為兩個正整數的平方差，所以1不是“智慧數”．對于大于1的奇正整數2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整數都是“智慧數”．
對于被4整除的偶數4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的數都是“智慧數”，而4不能表示為兩個正整數平方差，所以4不是“智慧數”．
對于被4除余2的數4k+2（k=0，1，2，3，…），設4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y為正整數，
當x，y奇偶性相同時，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
當x，y奇偶性相異時，（x+y）（x-y）為奇數，而4k+2為偶數，總得矛盾．
所以不存在自然數x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的數均不為“智慧數”．
因此，在正整數列中前四個正整數只有3為“智慧數”，此后，每連續四個數中有三個“智慧數”．
因為2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2692是第2017個“智慧數”，
所以2693是第2018個“智慧數”，2694÷4=673……2，所以不是智慧數，2695是第2019個“智慧數”，
故答案為： 2695．