Question

某土特產公司組織20輛汽車裝運甲、乙、丙三種土特產共120噸去外地銷售．按計劃20輛車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種土特產，且必須裝滿，根據下表提供的信息，解答以下問題：

土特產品種	甲	乙	丙
每輛汽車運載量（噸）	8	6	5
每噸土特產獲利（百元）	12	16	10

（1）設裝運甲種土特產的車輛數為x，裝運乙種土特產的車輛數為y，求y與x之間的函數關系式．
（2）如果裝運每種土特產的車輛都不少于3輛，那么車輛的安排方案有幾種并寫出每種安排方案．
（3）若要使此次銷售獲利最大，應采用（2）中哪種安排方案？并求出最大利潤的值．

Answer 1

分析：（1）因為公司組織20輛汽車裝運甲、乙、丙三種土特產共120噸去外地銷售，設裝運甲種土特產的車輛數為x，裝運乙種土特產的車輛數為y，則裝運丙特產的車輛數為（20-x-y），且8x+6y+5（20-x-y）=120，整理即得y與x之間的函數關系式．
（2）因為裝運每種土特產的車輛都不少于3輛，所以x≥3，y≥3，20-x-y≥3，結合（1）的答案，就可得到關于x的不等式組，又因x是正整數，從而可求x的取值，進而確定方案．
（3）可設此次銷售利潤為W百元，由表格可得W=8x•12+6（20-3x）•16+5[20-x-（20-3x）]•10=-92x+1920，根據y隨x的變化規律，結合（2）中所求，就可確定使利潤最大的方案．

解答：解：（1）∵8x+6y+5（20-x-y）=120，
∴y=20-3x．
∴y與x之間的函數關系式為y=20-3x．                              （3分）

（2）由x≥3，y=20-3x≥3，即20-3x≥3可得3≤x≤5

2

3

，
又∵x為正整數，
∴x=3，4，5．                                    （5分）
故車輛的安排有三種方案，即：
方案一：甲種3輛乙種11輛丙種6輛；
方案二：甲種4輛乙種8輛丙種8輛；
方案三：甲種5輛乙種5輛丙種10輛．                                 （7分）

（3）設此次銷售利潤為W百元，
W=8x•12+6（20-3x）•16+5[20-x-（20-3x）]•10=-92x+1920．
∵W隨x的增大而減小，又x=3，4，5
∴當x=3時，W_最大=1644（百元）=16.44萬元．
答：要使此次銷售獲利最大，應采用（2）中方案一，即甲種3輛，乙種11輛，丙種6輛，最大利潤為16.44萬元．（10分）

點評：本題需仔細分析題意，利用不等式組求出自變量的取值，從而確定方案．