Question

【題目】如圖，等邊△AOB的邊長為4，點P從點O出發，沿OA以每秒1個單位的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA．在點P從O向A運動的過程中，當△PCA為直角三角形時t的值為___________.

Answer 1

【答案】2或

【解析】如圖（1）過點P作PD⊥OB于點D，過C作CE⊥OA于E，∴∠PDO=∠PEC=90°，

∵∠O=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=t，∴BD=4-t，PD=t，

∵線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，

∴∠BPC=60°，BP=2PC，∵∠OPD=30°，

∴∠BPD+∠CPE=90°，∴∠DBP=∠CPE，

∴△PCE∽△BPD，

∴，

∴ ，

∴CE=t，PE=2-t，OE=2+t，

如圖（2）當∠PCA=90度時，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2=PFAF，

∵PF=2-t，AF=4-OF=2-t， CF=t，

∴（t）2=（2-t）（=2-t），

∴t=2，這時P是OA的中點；

如圖（3）當∠CAP=90°時，此時OA=OE，

∴2+t=4，∴t=，

故答案為：2或.