Question

觀察思考
如圖，⊙O的半徑是

5

，圓心與坐標原點重合，在直角坐標系中，把橫坐標、縱坐標都是整數的點稱為格點．
（1）寫出⊙O上所有格點的坐標．
（2）設上述格點的坐標為P（a，b）．
①若Q（1，-3），是否存在這樣的點P，使得直線PQ與⊙O相切？若存在請寫出符合條件的一個點P，并予以證明；若不存在，請說明理由．
②求二次函數y=ax²+bx的圖象經過第一、二、四象限的概率．

Answer 1

分析：（1）根據圖形寫出所有滿足題意的點P的坐標，共有8個；
（2）①存在，連接OP，QP，由“SAS”證明△PMO≌△QNP，從而得到對應角∠OPM=∠PQN，因為∠PQN與∠QPN互余，所以得到∠OPM+∠QPN=90°，根據平角定義得到∠OPQ為直角，故PQ為圓O的切線；
②由二次函數y=ax²+bx的圖象經過第一、二、四象限，得到a與b的符號，進而得到滿足題意的P坐標的個數為2個，根據概率的求法，利用2除以8即可求出概率．

解答：解：（1）根據圖形得到滿足題意的格點P坐標為：
（1，2），（2，1），（-1，2），（-2，1），（-1，-2），（-2，-1），（1，-2），（2，-1）共8個；

（2）①存在這樣的點P，使得直線PQ與⊙O相切，例如P（2，-1），
證明：根據題意畫出圖形，如圖所示：
連接OP，QP，由OM=NP=2，PM=QN=1，且∠PMO=∠QNP=90°，
∴△PMO≌△QNP，∴∠OPM=∠PQN，
∵∠QPN+∠PQN=90°，∴∠OPQ=180°-（∠OPM+∠QPN）=90°，
∴直線PQ是⊙O的切線；
②∵二次函數y=ax²+bx的圖象經過第一、二、四象限，
∴a＞0，且-

b

2a

＞0，則b＜0，
滿足題意的點P坐標有：（1，-2），（2，-1）共2個，而所有點P坐標有（1，2），（2，1），（-1，2），（-2，1），（-1，-2），（-2，-1），（1，-2），（2，-1）共8個；
∴P=

2

8

=

1

4

．

點評：本題考查了圓的切線性質，事件概率的求法，及全等三角形的知識．切線的證明方法有兩種：1、有點連接此點與圓心，證明夾角為直角；2、無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑．