Question

觀察思考,如圖是某種圓形裝置的示意圖，⊙O的直徑AB =5，AB的兩側分別有定點C和動點P，tan ∠CAB=，點P在弧AB上滑動，過點C作CP的垂線CO，與PB的延長線交于點Q，連接BC.解決問題
(1)當PC=____時，CQ與⊙O相切，此時CQ=       .
(2)當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長。
(3)當點P運動到弧AB的中點時，求CQ的長。

Answer 1

解：﹙1)5        (2)當點P與點C關于AB對稱     時，如圖l所示， 此時CP⊥AB  于D,     ∵AB為⊙O的直徑，     ∴∠ACB= 90°．     ∵AB=5 ,tan∠CAB=，         ∴BC=4，AC =3． 易證△ACD∽△ABC， ∴ ∴CD=，PC= ．      在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB， ∴CQ=PCtan∠CPQ=．       (3)當點P運動到弧AB的中點  時，如圖2所示， 過點B作BE⊥PC于點E，   ∵P是弧AB的中點， ∴∠PCB=45°．   ∴CE=BE=BCsin 45°= ，   又∠CPB=∠CAB， ∴PE=   ∴CQ=  .