Question

【題目】生活常識：射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，MN是平面鏡，若入射光線AO與水平鏡面夾角為∠1，反射光線OB與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2．

（1）現象解釋：如圖2，有兩塊平面鏡OM，ON，且OM⊥ON，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD．已知：∠1=55°，求∠4的度數．

（2）嘗試探究：如圖3，有兩塊平面鏡OM，ON，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD相交于點E，若∠MON=46°，求∠CEB的度數．

（3）深入思考：如圖4，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MON=α，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD所在的直線相交于點E，∠BED=β，α與β之間滿足的等量關系是 ．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）35°；（2）88°；（3）β＝2α

【解析】

（1）根據平面鏡反射光線的規律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2＋∠3＝90°，即可求解；

（2）根據三角形內角和定理求得∠2＋∠3＝134°，根據平面鏡反射光線的規律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用平角的定義得出∠1＋∠2＋∠EBC＋∠3＋∠4＋∠BCE＝360°，即可得出∠EBC＋BCE＝360°（2×134°）＝92°，根據三角形內角和定理即可得出∠BEC＝180°92°＝88°；

（3）利用平角的定義得出∠ABC＝180°2∠2，∠BCD＝180°2∠3，利用外角的性質∠BED＝∠ABC∠BCD＝（180°2∠2）（180°2∠3）＝2（∠3∠2）＝β，而∠BOC＝∠3∠2＝α，即可證得β＝2α．

解：（1）如圖2，∵∠1=∠2，∠1=55°

∴∠2=55°

∵OM⊥ON

∴∠3=90°－∠2=90°－55°=35°

∵∠4=∠3

∴∠4=35°

（2）如圖3，∵∠MON=46°

∴∠2+∠3=180°－∠MON=180°－46°=134°

∵∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠ECB+∠EBC=360°－2（∠2+∠3）=360°－134°×2=92°

∴∠BEC=180°－∠ECB－∠EBC=180°－92°=88°

（3）如圖4，β＝2α，

理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠ABC＝180°2∠2，∠BCD＝180°2∠3，

∴∠BED＝∠ABC∠BCD＝（180°2∠2）（180°2∠3）＝2（∠3∠2）＝β，

∵∠BOC＝∠3∠2＝α，

∴β＝2α．