Question

（2002•西藏）已知，如圖AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，弦CD與AB交于點E．
（1）求證：△CBE∽△CDB；
（2）若AB=4，設CE的長為x，CD的長為y，寫出y與自變量x的函數關系式（不寫自變量x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）由兩個角對應相等的兩個三角形相似即可證明△CBE∽△CDB；
（2）由勾股定理可求出BC的長，由（1）中的結論即可得到y與自變量x的函數關系式．

解答：（1）證明：∵半徑OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠D=45°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠D=45°，
∴∠DCB=∠BCE，
∴△CBE∽△CDB；

（2）∵∠COB=90°，AB=4，
∴OB=OC=4，
∴BC=

OB2+OC2

=4

2

，
∵△CBE∽△CDB，
∴

BC

CD

=

CE

BC

，
∵CE的長為x，CD的長為y，
∴

4 2

y

=

x

4 2

，
∴y=

32

x

．

點評：本題考查了圓周角定理的運用、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質以及由相似三角形的性質得到的比例式所引發的線段之間的函數關系．