Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點P是邊AD上的動點（點P不與點A、點D重合），點Q是邊CD上一點，聯結PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．

（1）當QD=QC時，求∠ABP的正切值；

（2）設AP=x，CQ=y，求y關于x的函數解析式；

（3）聯結BQ，在△PBQ中是否存在度數不變的角？若存在，指出這個角，并求出它的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) （0＜x＜2）;(3)見解析

【解析】試題分析：（1）延長PQ交BC延長線于點E．設PD=x，由∠PBC＝∠BPQ可得EB=EP，再根據AD//BC，QD＝QC可得PD＝CE，PQ＝QE，從而得BE＝EP= x+2， QP＝，在Rt△PDQ中，根據勾股定理可得，從而求得的長，再根據正切的定義即可求得；

（2）過點B作BH⊥PQ，垂足為點H，聯結BQ，通過證明Rt△PAB Rt△PHB，得到AP = PH =x，通過證明Rt△BHQ Rt△BCQ，得到QH = QC= y，在Rt△PDQ中，根據 勾股定理可得PD2+QD2=PQ2，代入即可求得；

（3）存在，根據（2）中的兩對全等三角形即可得.

試題解析：（1）延長PQ交BC延長線于點E，設PD=x，

∵∠PBC＝∠BPQ，

∴EB=EP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD//BC，∴PD∶CE= QD∶QC= PQ∶QE，

∵QD＝QC，∴PD＝CE，PQ＝QE，

∴BE＝EP= x+2，∴QP＝，

在Rt△PDQ中，∵，∴，解得，

∴，∴；

（2）過點B作BH⊥PQ，垂足為點H，聯結BQ，

∵AD//BC，∴∠CBP＝∠APB，∵∠PBC＝∠BPQ，∴∠APB＝∠HPB，

∵∠A＝∠PHB＝90°，∴BH = AB =2，∵PB = PB，∴Rt△PAB Rt△PHB，

∴AP = PH =x，

∵BC = BH=2，BQ = BQ，∠C＝∠BHQ＝90°，

∴Rt△BHQ Rt△BCQ，∴QH = QC= y，

在Rt△PDQ中，∵，∴，

∴；

（3）存在，∠PBQ＝45°．

由（2）可得， ， ，

∴．