Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中（如圖）．已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和點B（0，），頂點為C，點D在其對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°，點C落在拋物線上的點P處．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求線段CD的長；

（3）將拋物線平移，使其頂點C移到原點O的位置，這時點P落在點E的位置，如果點M在y軸上，且以O、D、E、M為頂點的四邊形面積為8，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+；（2）線段CD的長為2；（3）M點的坐標為（0，）或（0，﹣）．

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+，則根據二次函數的性質得到C點坐標和拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，設CD=t，則D（2，﹣t），根據旋轉性質得∠PDC=90°，DP=DC=t，則P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到關于t的方程，從而解方程可得到CD的長；

（3）P點坐標為（4，），D點坐標為（2，），利用拋物線的平移規律確定E點坐標為（2，﹣2），設M（0，m），當m＞0時，利用梯形面積公式得到（m++2）2=8當m＜0時，利用梯形面積公式得到（﹣m++2）2=8，然后分別解方程求出m即可得到對應的M點坐標．

（1）把A（﹣1，0）和點B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得

，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+；

（2）∵y=﹣（x﹣2）2+，

∴C（2，），拋物線的對稱軸為直線x=2，

如圖，設CD=t，則D（2，﹣t），

∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°，點C落在拋物線上的點P處，

∴∠PDC=90°，DP=DC=t，

∴P（2+t，﹣t），

把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，

整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，

∴線段CD的長為2；

（3）P點坐標為（4，），D點坐標為（2，），

∵拋物線平移，使其頂點C（2，）移到原點O的位置，

∴拋物線向左平移2個單位，向下平移個單位，

而P點（4，）向左平移2個單位，向下平移個單位得到點E，

∴E點坐標為（2，﹣2），

設M（0，m），

當m＞0時，（m++2）2=8，解得m=，此時M點坐標為（0，）；

當m＜0時，（﹣m++2）2=8，解得m=﹣，此時M點坐標為（0，﹣）；

綜上所述，M點的坐標為（0，）或（0，﹣）．