Question

【題目】已知：為直線 上的一點，以為觀察中心，射線表示正北方向，表示正東方向（即），射線，射線的方向如各圖所示．

（1）如圖1所示，當 時：

①若，則射線的方向是 ．

② 與 的關系為 ，

③ 與 的關系為 ．

（2）若將射線，射線繞點旋轉至圖的位置，另一條射線恰好平分，旋轉中始終保持．

①若，則 度 .

②若，則 （用含 的代數式表示）．

（3）若將射線，射線繞點旋轉至圖的位置，射線仍然平分，旋轉中始終保持，則與之間存在怎樣的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①北偏東20°；②相等；③互補.（2）①24°；②2β.（3）∠CON=2∠AOF，理由見解析.

【解析】

（1）①根據方向角的定義即可求解；②根據同角的余角相等即可得出結論；③先根據同角的余角相等得出∠EON=∠BOC,再根據兩角互補的定義即可得出結果.
（2）①根據同角的余角可知∠AOC=∠MOE，又根據角平分線的定義可得∠COF=∠MOF，兩式相減即可得出結果.②由①知∠AOF=∠EOF=β，又由∠CON=∠AOE即可得出結果.
（3）根據角的和差，以及角平分線的定義即可求解．

解：（1）①北偏東20°

②∵由題意知，∠AOE+∠EON=90°，∠NOC+∠EON=90°，

∴∠AOE=∠CON.

③由題意知，∠BOC+∠NOC=90°，∠NOC+∠EON=90°，

∴∠BOC=∠EON,

又∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠AOC+∠EON=180°.

故答案為：①北偏東20°；②相等；③互補.

（2）①由題意知，∠AOC+∠AOE=90°，∠MOE+∠AOE=90°，

∴∠AOC=∠MOE,

又OF為∠COM的角平分線，

∴∠COF=∠MOF,

∴∠COF-∠AOC =∠MOF-∠MOE，

∴∠AOF=∠EOF=24°.

②由①知，∠AOF=∠EOF=β，

∴∠CON=∠AOE=2∠AOF=2β.

故答案為：①24°；②2β.

（3）∵∠CON=180°-∠COM=180°-2∠MOF.

又∠AOF=90°-∠MOF,∴2∠AOF=180°-2∠MOF.

∴∠CON=2∠AOF.