Question

在△ABC中，AD是△ABC的角平分線．

（1）如圖1，過C作CE∥AD交BA延長線于點E，若F為CE的中點，連結AF，求證：AF⊥AD；
（2）如圖2，M為BC的中點，過M作MN∥AD交AC于點N，若AB=4， AC=7，
求NC的長．

Answer 1

（1）

∵AD為△ABC的角平分線，∴，∵CE∥AD，∴，，∴，∴AC=AE，∵F為EC的中點，∴AF⊥BC，∴，∴AF⊥AD。
（2）

CN＝5.5

試題分析：（1）由與CE∥AD，可以通過兩直線平行性質推出內錯角和同位角相等，等量代換得出，又等腰三角形底邊的中線與底邊上的高是同一條線，所以得出AF⊥BC，由此AF⊥AD。
（2）延長BA與MN延長線于點E，過B作BF∥AC交NM延長線于點F，∴，，∵M為BC的中點，∴BM＝CM，在△BFM和△CNM中，，，，∴△BFM≌△CNM，∴BF＝CN，∵MN∥AD，∴，，∴，∴，，設，則，，，∴4＋7－x＝x，解得 x＝5.5，∴CN＝5.5
點評：本題考查的是學生對兩平行線與過這兩條線的直線相交的性質；等腰三角形的三線合一很重要，通過求出其中任意一個數據，即可知道其他兩個的數據；第二問關鍵在于做輔助線，輔助線在幾何題中也是十分常用的一種方法。