Question

【題目】⑴如圖1，點C在線段AB上，點D、E在直線AB同側，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求證：AC＝BE.

⑵如圖2，點C在線段AB上，點D、E在直線AB同側，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.

①求證：；②連接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；

⑶如圖3，在△ABD中，點C在AB邊上，且∠ADC＝∠ABD，點E在BD邊上，連接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；② ；（3） .

【解析】

（1）利用AAS證明可得AC=BE；

（2）①先證明△DAC∽△CBE，再利用相似三角形的性質可得；

②根據∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，從而求出相應的線段長度，得到tan∠CDB的值．

（3）根據∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，從而得到AD的長，根據∠BCE+∠BAD=180°，以E為圓心，EC長為半徑畫弧，交BC于點H，連接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△ADC，則.

（1）證明：如圖1，

，

又，

又

（2）①證明：∵∠DCA+∠DCE+∠ECB=180°，
∠DCA+∠A+∠CDA=180°，∠A=∠DCE，
∴∠ADC=∠ECB，
∵∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE，

②如圖2，

∵∠ADC=∠DBA，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ABD，

AB=AC+BC=

∴

解得AD=5，

設∠DBA=∠CDA=α，
∴∠CDG=90-2α，
∴∠CGD=2α，
∴∠GCB=∠GBC=α，
∴CG=GB，
設CG=GB=x，

解得

（3）如圖3，

∵∠ADC=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ADB，

解得AD=5，
∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°，
∴∠ADC+∠DCA=∠BCE，
以E為圓心，EC長為半徑畫弧，交BC于點H，連接EH，
∴EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，
∵∠B=∠ADC，
∴∠BEH=∠ACD，
∴△BEH∽△ADC，

故答案為：