Question

已知直角坐標平面上點A（2，0），P是函數y=x（x＞0）圖象上一點，PQ⊥AP交y軸正半軸于點Q（如圖）．
（1）試證明：AP=PQ；
（2）設點P的橫坐標為a，點Q的縱坐標為b，那么b關于a的函數關系式是

 

；
（3）當S△AOQ=

2

3

S△APQ時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據題意，OP平分∠AOQ．故過P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、T，則PH=PT．進一步可證明△PHA與△PTQ全等解決問題；
（2）四邊形OHPT是正方形，且邊長為 a．AH=TQ=2-a．根據OQ+TQ=邊長a求解；
（3）分別表示相關面積，列方程求解．

解答：解：（1）過P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、T
∵點P在函數y=x（x＞0）的圖象上，
∴PH=PT，PH⊥PT．（1分）
∵AP⊥PQ，
∴∠APH=∠QPT．
又∠PHA=∠PTQ，
∴△PHA≌△PTQ，（1分）
∴AP=PQ．         （1分）

（2）根據題意得 AH=2-a=TQ．
∵OQ+TQ=OT=OH，
∴b+2-a=a，
b=2a-2．
故答案為 b=2a-2．（2分）

（3）由（1）、（2）知，
S△AOQ=

1

2

OA×OQ=2a-2，S△APQ=

1

2

AP2=a2-2a+2，（1分）
∴2a-2=

2

3

(a2-2a+2)，
解得 a=

5± 5

2

，（1分）
所以點P的坐標是(

5- 5

2

，

5- 5

2

)或(

5+ 5

2

，

5+ 5

2

)．（1分）

點評：此題考查一次函數的綜合應用，涉及三角形全等的判定與性質、解一元二次方程等知識點，綜合性強，難度大．