Question

【題目】如圖，點P在y軸的正半軸上，⊙P交x軸于B、C兩點，交y軸于點A，以AC為直角邊作等腰Rt△ACD，連接BD分別交y軸和AC于E、F兩點，連接AB．

（1）求證：AB＝AD；

（2）若BF＝4，DF＝6，求線段CD的長；

（3）當⊙P的大小發生變化而其他條件不變時，的值是否發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）不發生變化，

【解析】

（1）先判斷出△AOB≌△AOC（SAS），得出AB＝AC，即可；

（2）過A作AM⊥BD于M，再判斷出△ADM∽△FDA可求AD＝，則CD＝；

（3）不變，過D作DH⊥y軸于H，作DQ⊥x軸于Q，再證△DHA≌△AOC（AAS），得DH＝AO，AH＝OC，進而得出HO＝BQ，所以DQ＝BQ，即△DBQ為等腰直角三角形即可．

（1）證明：∵OA⊥BC，且OA過圓心點P，

∴OB＝OC，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SAS），

∴AB＝AC，

∵以AC為直角邊作等腰Rt△ACD，

∴AD＝AC，

∴AB＝AD；

（2）如圖1，過點A作AM⊥BD于M，

由（1）知，AB＝AD，

∴DM＝BD，

∵BF＝4，DF＝6，

∴BD＝10，

∴DM＝5，

∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，

∴△ADM∽△FDA，

∴，

∴，

∴AD＝，

在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；

（3）的值是不發生變化，

理由：如圖2，過點D作DH⊥y軸于H，作DQ⊥x軸于Q，

∴∠AHD＝90°＝∠COA，

∴∠ADH+∠DAH＝90°，

∵∠CAD＝90°，

∴∠CAO+∠DAH＝90°，

∴∠ADH＝∠CAO，

∵AD＝AC，

∴△ADH≌△ACO（AAS），

∴DH＝AO，AH＝OC，

∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，

∴四邊形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，

又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，

∴DQ＝BQ，

∴△DBQ為等腰直角三角形，

∴∠DBQ＝45°，

∴∠DEH＝∠BEO＝45°，

∴sin∠DEH＝，

∴＝，

∴，

∴．