Question

【題目】已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，直線l過點M（3，0）且平行于y軸．

（1）作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點的坐標．

（2）如果點P的坐標是（﹣a，0），其中a＞0，點P關于y軸的對稱點是P1，點P1關于直線l的對稱點是P2，求P1P2的長．（用含a的代數式表示）

（3）通過計算加以判斷，PP2的長會不會隨點P位置的變化而變化．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析，A1（0，4）、B1（2，2）C1（1，1）；（2）當0＜a≤3時，P1P2=6﹣2a；當a＞3時，P1P2=2a﹣6；（3）PP2的長不會隨點P位置的變化而變化．

【解析】

（1）如圖1，分別作出點B、C關于y軸的對稱點，再順次連接可得；（2）P與P1關于y軸對稱，利用關于y軸對稱點的特點：縱坐標不變，橫坐標變為相反數，求出P1的坐標，再由直線l的方程為直線x=3，利用對稱的性質求出P2的坐標，即可PP2的長（本題分0＜a≤3和a＞3兩種情況求解）；（3）根據以上兩種情況，分別利用PP2=PP1+P1P2、PP2=PP1﹣P1P2計算可得結論．

（1）如圖，△A1B1C1即為所求，

A1（0，4）、B1（2，2）C1（1，1）；

（2）①如圖2，當0＜a≤3時，

∵P與P1關于y軸對稱，P（﹣a，0），

∴P1（a，0），

又∵P1與P2關于l：直線x=3對稱，

設P2（x，0），可得： =3，即x=6﹣a，

∴P2（6﹣a，0），

則PP2=6﹣a+a=6．

∴P1P2=6﹣2a；

②如圖3，當a＞3時，

∵P與P1關于y軸對稱，P（﹣a，0），

∴P1（a，0），

又∵P1與P2關于l：直線x=3對稱，

設P2（x，0），可得： =3，即x=6+a，

∴P2（6+a，0），

則PP2=6+a﹣a=6．

∴P1P2=2a﹣6.

綜上所述，當0＜a≤3時，P1P2=6﹣2a；當a＞3時，P1P2=2a﹣6；

（3）當0＜a≤3時，PP2=PP1+P1P2=2a+6﹣2a=6；

當a＞3時，PP2=PP1﹣P1P2=2a﹣（2a﹣6）=6；

∴PP2的長不會隨點P位置的變化而變化．