Question

（2007•海南）如圖，在正方形ABCD中，點F在CD邊上，射線AF交BD于點E，交BC的延長線于點G．
（1）求證：△ADE≌△CDE；
（2）過點C作CH⊥CE，交FG于點H，求證：FH=GH；
（3）設AD=1，DF=x，試問是否存在x的值，使△ECG為等腰三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據SAS可證△ADE≌△CDE；
（2）根據（1）的結論和圖中各角的關系證明∠G=∠6，∠5=∠7即可；
（3）要使△ECG為等腰三角形，必須CE=CG，根據已知求得∠3的度數，再根據正切值進行計算求得．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE，（3分）
∴△ADE≌△CDE．（4分）

（2）證明：∵△ADE≌△CDE，
∴∠3=∠4，
∵CH⊥CE，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠6+∠5=90°，
∴∠4=∠6=∠3，
∵AD∥BG，
∴∠G=∠3，
∴∠G=∠6，
∴CH=GH，（6分）
又∵∠G+∠5=∠G+∠7=90°，
∴∠5=∠7，
∴CH=FH，（7分）
∴FH=GH．（8分）

（3）解：存在符合條件的x值此時，（10分）
∵∠ECG＞90°，要使△ECG為等腰三角形，必須CE=CG，
∴∠G=∠8，
又∵∠G=∠4，
∴∠8=∠4，（11分）
∴∠9=2∠4=2∠3，
∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°，
∴∠3=30°，
∴x=DF=1×tan30°=．（12分）
點評：此題綜合性較強，主要考查了全等三角形的判定、三角形的內角和外角的性質、等腰三角形的判定．