Question

【題目】若三個非零實數滿足：只要其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數構成“和諧三數組”．

（1）實數1，2，3可以構成“和諧三數組”嗎？請說明理由．

（2）若三點均在函數y=（為常數，）的圖象上，且這三點的縱坐標構成“和諧三數組”，求實數的值；

（3）若直線與軸交于點，與拋物線交于兩點．

①求證：A，B，C三點的橫坐標x1，x2，x3構成“和諧三組數”；

②若a＞2b＞3c，x2=1，求點P（，）與原點O的距離OP的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）不可以（2）t=-4，-2或2（3）且OP≠1

【解析】

試題分析：（1）根據“和諧三組數”的意義直接判斷即可；

（2）分別表示出M、N、R的坐標，然后根據“和諧三組數”求出t的值；

（3）①令y=2bx+2c=0表示出x1，然后聯立方程組得到，然后由韋達定理表示出x2、x3的關系，從而判斷；

②由已知求出OP表達式，然后根據表達式求范圍.

試題解析：（1）由已知1＜2＜3

∴

又∵1≠

∴1,2,3不可以構成“和諧三組數”

（2）M（t，），N（t+1，），R（t+3，）

，，組成“和諧三組數”

①若=+，得t=-4

②若，得t=-2

③若，得t=2

綜上，t=-4，-2或2

（3）①令y=2bx+2c=0

∴x1=-

聯立

∴

∴由韋達定理可得

∴

∴構成“和諧三組數”

②∵x2=1

∴a+b+c=0

∴c=-a-b

∴OP==

∵a＞2b＞3c

∴-＜b＜

∴-＜＜

令t=，p=2=

∵-＜t＜且t≠-1或0

∴＜p＜且p≠1

∴且OP≠1