Question

【題目】已知，拋物線y＝ax2+2ax+c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC＝3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當a＞0時，如圖所示，若點D是第三象限方拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，三角形ADC的面積為S，求出S與m的函數關系式，并直接寫出自變量m的取值范圍；請問當m為何值時，S有最大值？最大值是多少．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3;(2) S=﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）;當m=﹣時，S取最大值，最大值為.

【解析】

（1）根據點B的坐標及OC=3OB可得出點C的坐標，再根據點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）過點D作DE⊥x軸，交AC于點E，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、C的坐標，進而即可得出線段AC所在直線的解析式，由點D的橫坐標可找出點D、E的坐標，再利用三角形的面積公式即可得出S與m的函數關系式，利用配方法可找出S的最大值．

（1）∵點B的坐標為（1，0），OC=3OB，

∴點C的坐標為（0，3）或（0，﹣3），

將點B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y=ax2+2ax+c，

或

解得： 或，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3．

（2）過點D作DE⊥x軸，交AC于點E，如圖所示．

∵a＞0，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3）．

當y=0時，有x2+2x﹣3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

∴點A的坐標為（﹣3，0），

利用待定系數法可求出線段AC所在直線的解析式為y=﹣x﹣3．

∵點D的橫坐標為m，

∴點D的坐標為（m，m2+2m﹣3），點E的坐標為（m，﹣m﹣3），

∴DE=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m，

∴S=DE×|﹣3﹣0|=﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）．

∵﹣＜0，且S=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+，

∴當m=﹣時，S取最大值，最大值為．