Question

【題目】如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，連接AE，AD，DE，過點A作射線交BE的延長線于點C，使∠EAC＝∠EDA．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若CE＝AE＝2，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2π-

【解析】

（1）連接OA，過O作OF⊥AE于f，得到∠EAO+∠AOF=90°，根據等腰三角形的性質和圓周角定理得到∠EDA=∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切線；
（2）根據等腰三角形的性質得到∠C=∠EAC，得到∠AEO=2∠EAC，推出△OAE是等邊三角形，根據扇形的面積公式得到S扇形AOE=π，求得S△AOE=AEOF=××3=，于是得到結論．

解：（1）證明：連接OA，過O作OF⊥AE于F，
∴∠AFO=90°，
∴∠EAO+∠AOF=90°，
∵OA=OE，
∴∠EOF=∠AOF=∠AOE，
∵∠EDA=∠AOE，
∴∠EDA=∠AOF，
∵∠EAC=∠EDA，
∴∠EAC=∠AOF，
∴∠EAO+∠EAC=90°，
∵∠EAC+∠EAO=∠CAO，
∴∠CAO=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵CE=AE=，

∴∠C=∠EAC，
∵∠EAC+∠C=∠AEO，
∴∠AEO=2∠EAC，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO，
∴∠EAO=2∠EAC，
∵∠EAO+∠EAC=90°，
∴∠EAC=30°，∠EAO=60°，
∴△OAE是等邊三角形，
∴OA=AE，∠EOA=60°，
∴OA=，

∴S扇形AOE==2π，
在Rt△OAF中，OF=OAsin∠EAO=×=3，
∴S△AOE=AEOF=××3=，

∴陰影部分的面積=2π-.