Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點E，F分別是邊AB，AD上的點，且滿足∠BCE=∠DCF，連結EF．

（1）若AF=1，求EF的長；

（2）取CE的中點M，連結BM，FM，BF．求證：BM⊥FM．

Answer 1

【答案】(1)1；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據已知和菱形的性質證明△CBE≌△CDF，得到BE=DF，證明△AEF是等邊三角形，求出EF的長；

（2）延長BM交DC于點N，連結FN，證明△CMN≌△EMB，得到NM=MB，證明△FDN≌△BEF，得到FN=FB，得到BM⊥MF．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD=BC=DC，∠D=∠CBE，

又∵∠BCE=∠DCF，

在△CBE與△CDF中，

，

∴△CBE≌△CDF，

∴BE=DF．

又∵AB=AD，

∴AB-BE=AD-DF，即AE=AF，

又∵∠A=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴EF=AF，

∵AF=1，

∴EF=1．

（2）如圖1，延長BM交DC于點N，連結FN，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC∥AB，

∴∠NCM=∠BEM，∠CNM=∠EBM

∵點M是CE的中點，

∴CM=EM．

在△CMN與△EMB中，

，

∴△CMN≌△EMB，

∴NM=MB，CN=BE．

又∵AB=DC．

∴DC-CN=AB-BE，即DN=AE．

∵△AEF是等邊三角形，

∴∠AEF=60°，EF=AE．

∴∠BEF=120°，EF=DN．

∵DC∥AB，

∴∠A+∠D=180°，

又∵∠A=60°，

∴∠D=120°，

∴∠D=∠BEF．

在△FDN與△BEF中，

，

∴△FDN≌△BEF，

∴FN=FB，

又∵NM=MB，

∴BM⊥MF