Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，CE平分∠ACB，交AB于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）求證：△PCE是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）連接OC

∵PD切⊙O于點C，

∴OC⊥PD．

又∵AD⊥PD，

∴OC∥AD．

∴∠ACO=∠DAC．

又∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°．

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∴∠PCB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠PCB．

又∵∠DAC=∠CAO，

∴∠CAO=∠PCB．

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∴∠CAO+∠ACE=∠PCB+∠BCE，

∴∠PEC=∠PCE，

∴PC=PE，

即△PCE是等腰三角形．