Question

【題目】在矩形ABCD中，邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點B落在CD邊上的點P處（如圖1）．
（1）如圖2，設折痕與邊BC交于點O，連接，OP、OA．已知△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；
（2）動點M在線段AP上（不與點P、A重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN、CA，交于點F，過點M作ME⊥BP于點E．
①在圖1中畫出圖形；
②在△OCP與△PDA的面積比為1：4不變的情況下，試問動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發生變化？請你說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA，
∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴=
∴CP=AD=4，
設OP=x，則CO=8﹣x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42 ，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴邊AB的長為10；
（2）①作圖如下：

②作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖1．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=QB．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．
由（1）中的結論可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB==4．
∴EF=PB=2．
∴當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，長度為2．

【解析】（1）根據相似三角形△OCP∽△PDA的性質求出PC長以及AP與OP的關系，然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長，從而求出AB長；
（2）①根據題意作出圖形；
②由邊相等常常聯想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的位置很不協調，可通過作平行線構造全等，然后運用三角形全等及等腰三角形的性質即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長就可以求出EF長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數圖象的平移的相關知識，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減．