Question

【題目】現有正方形ABCD和一個以O為直角頂點的三角板，移動三角板，使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC，CD交于點M，N．

（1）如圖1，若點O與點A重合，則OM與ON的數量關系是__________________；

（2）如圖2，若點O在正方形的中心（即兩對角線的交點），則（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；

（3）如圖3，若點O在正方形的內部（含邊界），當OM=ON時，請探究點O在移動過程中可形成什么圖形？

（4）如圖4是點O在正方形外部的一種情況．當OM=ON時，請你就“點O的位置在各種情況下（含外部）移動所形成的圖形”提出一個正確的結論．（不必說理）

Answer 1

【答案】（1）OM=ON；（2）OM=ON仍成立；（3）點O在正方形內（含邊界）移動所形成的圖形是對角線AC；（4）所形成的圖形為直線AC．

【解析】

試題分析：（1）根據△OBM與△ODN全等，可以得出OM與ON相等的數量關系；

（2）連接AC、BD，則通過判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；

（3）過點O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通過判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，進而發現點O在∠C的平分線上；

（4）可以運用（3）中作輔助線的方法，判定三角形全等并得出結論．

試題解析：（1）若點O與點A重合，則OM與ON的數量關系是：OM=ON；

（2）仍成立．

證明：如圖2，連接AC、BD．

由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°．∵∠MON=90°，∴∠BOM=∠CON，在△BOM和△CON中，∵∠OBM=∠OCN，BO=CO，∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON（ASA），∴OM=ON；

（3）如圖3，過點O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分別為E、F，則∠OEM=∠OFN=90°．又∵∠C=90°，∴∠EOF=90°=∠MON，∴∠MOE=∠NOF．

在△MOE和△NOF中，∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON，∴△MOE≌△NOF（AAS），∴OE=OF．

又∵OE⊥BC，OF⊥CD，∴點O在∠C的平分線上，∴O在移動過程中可形成線段AC；

（4）O在移動過程中可形成直線AC．