Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊CD的長(zhǎng)．
（2）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線(xiàn)段OP，連接BP．動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BN=PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明變化規(guī)律．若不變，求出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1

，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴ ，

∴CP= AD=4，

設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴邊CD的長(zhǎng)為10；

（2）

解：作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵M(jìn)Q∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= ，

∴EF= PB=2 ，

∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度不變，它的長(zhǎng)度為2

【解析】（1）先證出∠C=∠D=90°，再根據(jù)∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA；根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP= AD=4，設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42 ， 求出x，最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長(zhǎng)；（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的結(jié)論求出PB= ，最后代入EF= PB即可得出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度不變此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線(xiàn)，找出全等和相似的三角形．