Question

【題目】（問題實驗）如圖①，在地面上有兩根等長立柱，之間懸掛一根近似成拋物線的繩子．

（1）求繩子最低點到地面的距離；

（2）如圖②，因實際需要，需用一根立柱撐起繩子．

①若在離為4米的位置處用立柱撐起，使立柱左側的拋物線的最低點距為1米，離地面1.8米，求的長；

②將立柱來回移動，移動過程中，在一定范圍內，總保持立柱左側拋物線的形狀不變，其函數表達式為，當拋物線最低點到地面距離為0.5米時，求的值．

（問題抽象）如圖③，在平面直角坐標系中，函數的圖像記為，函數的圖像記為，其中是常數，圖像、合起來得到的圖像記為．

設在上的最低點縱坐標為，當時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】【問題實驗】（1）米；（2）①米；②；【問題抽象】或．

【解析】

【問題實驗】

（1）先把拋物線轉化為頂點式，進而可得答案；

（2）①先求出點A坐標，由題意可設，然后把點A坐標代入即可求出a的值，再求當x=4時對應的y的值即為所求；

②根據題意可確定：該拋物線的頂點坐標為，然后把該點代入拋物線的解析式可得關于m的方程，解方程并結合拋物線對稱軸的位置即可求出結果；

【問題抽象】

當時，對，確定其對稱軸為直線后，由于，可分與兩種情況，根據拋物線的性質確定其最小值y0，然后由即可得到關于m的不等式組，解不等式組即可求出結果；當x＜0時，對于，確定其對稱軸是直線x=m后，仿照上面的思路求解即可．

解：【問題實驗】（1），

∴繩子最低點到地面的距離是米；

（2）對，當x=0時，y=3，∴A（0，3），

①由題意可知：MN左側的拋物線的頂點為（3，1.8），于是設拋物線的解析式為，

把代入，得：，解得：，

∴，

當時，，

∴米；

②由于的對稱軸是直線x=m，所以該拋物線的頂點坐標為，

把代入中，，

解得：，，

由于拋物線的對稱軸在y軸右側，∴；

【問題抽象】

由題意知：拋物線M1、M2均過定點（0，3），當m≥0時，M1的最低點為（0，3），此時，拋物線M的最低點在M2上．當時，對M2：，其對稱軸是直線．

①當，即時，

∵當時，y隨x的增大而減小，∴當x=2時，y最小，此時，

∵，∴，解得：；

②當，即時，

∵x的范圍是，∴當x=2m時y最小，此時，

∵，∴，解得：，

∵，∴此種情況的m的值不存在；

當m＜0時，M2的最低點為（0，3），此時，拋物線M的最低點在M1上，當x＜0時，對于M1：，其對稱軸是直線x=m．

③當時，

∵當時，y隨x的增大而增大，∴當x=﹣3時，y最小，此時，

∵，∴，解得：，

∵，所以m的范圍是；

④當時，

∵x的范圍是，∴當x=m時，y最小，此時，

∵，∴，解得：，

∵，∴；

綜上所述，m的取值范圍是：或．