Question

【題目】如圖，在中，已知， ， 是的中點，點、分別在、邊上運動（點不與點、重合），且保持，連接、、．在此運動變化的過程中，有下列結論，其中正確的結論是（ ）

①四邊形有可能成為正方形；②是等腰直角三角形；

③四邊形的面積是定值；④點到線段的最大距離為．

A. ①④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】①當DE⊥AC,DF⊥BC時,此時四邊形CEDF是矩形,由AC=BC,∠ACB=90°,則∠A=∠B=45°,由CD⊥AB,則∠ACD=∠BCD=45°，則AD=CD=BD,同理CE=AE=DE,則此時四邊形CEDF是正方形，正確；

②連接CD，在△ADE和△CDF中，AE=CF, ∠A=∠DCF=45°,AD=CD,

∴△ADE≌△CDF，

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA，

又∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDF，

∴△DFE為等腰直角三角形，正確；

③∵△ADE≌△CDF，

∴S△ADE=S△CDF，

∵S四邊形CEDF=S△CED+S△CFD，

∴S四邊形CEDF=S△CED+S△AED=S△ADC，

∵S△ADC=S△ABC=4，

∴四邊形CEDF面積是定值為4，正確；

④設C到EF的距離為d，CF=x，

∵△DEF是等腰直角三角形，故D到EF的距離為EF，
又四邊形CEDF的面積是定值4，
故S四邊形CEDF=S△CEF+S△FED= (+d)=4,

則d=，當EF越小，則d越大，

由EF=DE，則DE最小時,EF最小,此時d最大.

而當DE⊥AC時,DE=2最小,

此時EF=2,d==.

故正確．

綜上，①②③④都正確.

故選D．