Question

8、如圖已知D是△ABC的邊BC的中點，過D作兩條互相垂直的射線，分別交AB于E，交AC于F，求證：BE+CF＞EF．

Answer 1

分析：本題可將所求的線段轉移到同一個或相關聯的三角形中進行求解．如果延長FD到M使MD=DF，連接BM，EM．因此構成了兩三角形全等，那么CF=BM．三角形EFM中，ED⊥MF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分線，因此EM=EF．再根據三角形三邊的關系就可證明．

解答：證明：延長FD到M使MD=DF，連接BM，EM．
∵D為BC中點，
∴BD=DC．
∵∠FDC=∠BDM，
∴△BDM≌△CDF．
∴BM=FC．
∵ED⊥DF，
∴EM=EF．
∵BE+BM＞EM，
∴BE+FC＞EF．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定和性質及三角形三邊關系；通過構建全等三角形來實現線段之間的轉換是解題的關鍵．