Question

【題目】如圖1，點為線段上任意一點（不與點重合），分別以為一腰在的同側作等腰和，，，，連接交于點，連接交于點，與交于點，連接.

線段與的數量關系為 ；請直接寫出 ；

將繞點旋轉到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段與的數量關系，并說明理由；求出此時的度數；

在的條件下求證：.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ，,理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）只要證明△ACE≌△DCB，即可解決問題；

（2）只要證明△ACE≌△DCB，即可解決問題；

（3）如圖2-1中，分別過C作CH⊥AE，垂足為H，過點C作CG⊥BD，垂足為G，利用面積法證明CG=CH，再利用角平分線的判定定理證明∠DPC=∠EPC即可解決問題；

如圖1中，

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，∴CAE=∠CDB，

∵∠AMC=∠DMP，

∴∠APD=∠ACD=30°，

故答案為AE=BD，30°

如圖2中，結論：，.

理由：∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，∴CAE=∠CDB，

∵∠AMP=∠DMC，

∴∠APD=∠ACD=30°．

證明：如圖2-1中，分別過作于，過點作于，

∵△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，

∵S△ACE=S△DCB（全等三角形的面積相等），

∴CH=CG，

∴∠DPC=∠EPC（角平分線的性質定理的逆定理），

∵∠APD=∠BPE，

∴∠APC=∠BPC．