Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，在直線AC、直線BC上分別取點D和點且AD=CE，直線BD、AE相交于點F．

（1）如圖1所示，當點D、點E分別在線段CA、BC上時，求證：BD=AE；

（2）如圖2所示，當點D、點E分別在CA、BC的延長線時，求∠BFE的度數；

（3）如圖3所示，在（2）的條件下，過點C作CM∥BD，交EF于點M，若DF：AF：AM=1：2：4，BC=12，求CE的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）6.

【解析】

（1）先判斷出∠BAC=∠ACB，進而用SAS即可判斷出△ABD≌△CAE，即可得出結論；

（2）先判斷出∠BAD=∠ACE=120°，進而用SAS即可判斷出△ABD≌△CAE，即可得出結論；

（3）先求出AC=12，再判斷出△ADF∽△ACM，即可得出結論．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，

在△ABD和△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠BAD=∠ACE=120°

在△ABD和△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE，

∴∠ADB=∠CEA，

∴∠BFE=∠ADB+∠DAF=∠AEC+∠CAE=∠ACB=60°；

（3）∵CM∥BD，

∴△ADF∽△ACM，

∴ ，

∵AF：AM=2：4=1：2，

∴AD=AC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC=12，

∴AD=6，

∵AD=CE，

∴CE=AD=6．