Question

如圖，已知⊙O的弦AB垂直于直徑CD，垂足為F，點E在AB上，且EA=EC，延長EC到點P，連接PB．使PB=PE．
（1）在以下5個結論中：一定成立的是

①③④⑤

（只需將結論的代號填人題中的橫線上）
①

AC

=

BC

；②OF=CF；③BF=AF；④AC²=AE•AB；⑤PB是⊙O的切線．
（2）若⊙O的半徑為8cm．AE：EF=2：1．求弓形ACB的面積．

Answer 1

分析：（1）連接BC，OB，OA，根據垂徑定理即可判斷①②③；證△ACE和△ACB相似推出比例式，即可判斷④；證出OB⊥PB，根據切線的判定定理判斷⑤即可；
（2）弓形ACB的面積等于扇形OAB的面積減去△AOB的面積，設AE=2a，EF=a，則CE=2a，在Rt△OBF中，根據勾股定理求出a，根據含30度角的直角三角形求出圓心角AOB的度數，根據扇形的面積和三角形的面積求出即可．

解答：解：（1）連接BC，OB，OA，
∵AB⊥CD，CD是圓的直徑，
∴BC=AC，弧AC=弧BC，BF=AF，∴①③正確；
∴∠CAB=∠CBA，
∵CE=AE，
∴∠CAB=∠ACE=∠CBA，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△CAE∽△BAC，
∴

AC

AE

=

AB

AC

，
∴AC²=AE•AB，∴④正確；
∵PB=PE，
∴∠PBA=∠PEB，
∵∠PEB=∠CAB+∠ECA=2∠CAB=2∠CBF，
∴∠PBC=∠CBE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBP=∠OCB+∠CBA=90°，
即OB⊥PB，
∵OB是圓O的半徑，
∴PB是圓O的切線，∴⑤正確；
根據已知條件不能推出CF=OF，∴②錯誤；
故答案為：①③④⑤．

（2）設AE=2a，EF=a，則CE=2a，由勾股定理得：CF=

3

a，
BF=AF=3a，
在Rt△OBF中，由勾股定理得：OB²=BF²+OF²，
∴8²=（3a）²+(8-

3

a)2，
∴a=

4 3

3

，
∴OF=8-

4 3

3

×

3

=4，
∵OB=8，
∴∠FBO=30°，
∴∠BOA=2×60°=120°，
∴弓形ACB的面積等于扇形OAB的面積減去△AOB的面積，
即：

120π×82

360

-

1

2

×6×

4 3

3

×4=（

64

3

π-16

3

）（cm²），
答：弓形ACB的面積是

64

3

π-16

3

cm²

點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，垂徑定理，含30度角的直角三角形性質，三角形的面積，扇形的面積，切線的判定等知識點，此題綜合性比較強，有一定的難度，對學生有較高的要求，但題型較好．