Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線1交拋物線于點(diǎn)Q．

（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線1交直線BD于點(diǎn)M，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；

（3）點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）m＝2時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；（3）存在，點(diǎn)Q（3，2）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）令拋物線關(guān)系式中的x＝0或y＝0，分別求出y、x的值，進(jìn)而求出與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）用m表示出點(diǎn)Q，M的縱坐標(biāo)，進(jìn)而表示QM的長(zhǎng)，使CD＝QM，即可求出m的值；

（3）分三種情況進(jìn)行解答，即①∠MBQ＝90°，②∠MQB＝90°，③∠QMB＝90°分別畫(huà)出相應(yīng)圖形進(jìn)行解答．

解：（1）拋物線y＝﹣x2+x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，因此點(diǎn)C（0,2），

當(dāng)y＝0時(shí)，即：﹣x2+x+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，因此點(diǎn)A（﹣1,0），B（4,0），

故：A（﹣1,0），B（4,0），C（0,2）；

（2）∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D（0,﹣2），CD＝4，

設(shè)直線BD的關(guān)系式為y＝kx+b，把D（0,﹣2），B（4,0）代入得，

，解得，k＝，b＝﹣2，

∴直線BD的關(guān)系式為y＝x﹣2

設(shè)M（m,m﹣2），Q（m,﹣m2+m+2），

∴QM＝﹣m2+m+2﹣m+2）＝﹣m2+m+4，

當(dāng)QM＝CD時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；

∴﹣m2+m+4＝4，

解得m1＝0（舍去），m2＝2，

答：m＝2時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形；

（3）在Rt△BOD中，OD＝2，OB＝4，因此OB＝2OD，

①若∠MBQ＝90°時(shí)，如圖1所示，

當(dāng)△QBM∽△BOD時(shí)，QP＝2PB，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則QP＝﹣x2+x+2，PB＝4﹣x，

于是﹣x2+x+2＝2（4﹣x），

解得，x1＝3，x2＝4（舍去），

當(dāng)x＝3時(shí)，PB＝4﹣3＝1，

∴PQ＝2PB＝2，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；

②若∠MQB＝90°時(shí)，如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A重合，

∴Q（﹣1，0）；

③由于點(diǎn)M在直線BD上，因此∠QMB≠90°，這種情況不存在△QBM∽△BOD．

綜上所述，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似，

點(diǎn)Q（3，2）或（﹣1，0）．