Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．

（1）求證：；

（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）10.

【解析】

①只需證明兩對(duì)對(duì)應(yīng)角分別相等可得兩個(gè)三角形相似；故.
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC長(zhǎng)以及AP與OP的關(guān)系，然后在Rt△PCO中運(yùn)用勾股定理求出OP長(zhǎng)，從而求出AB長(zhǎng)．

①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.

由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.

∴∠APO=90°.

∴∠APD=90°∠CPO=∠POC.

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.

∴△OCP∽△PDA.

∴.

②∵△OCP與△PDA的面積比為1:4，

∴OCPD=OPPA=CPDA=14√=12.

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.

∵AD=8，

∴CP=4，BC=8.

設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8x.

在△PCO中，

∵∠C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，

∴x2=(8x)2+42.

解得：x=5.

∴AB=AP=2OP=10.

∴邊AB的長(zhǎng)為10.