Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧BF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AF的垂線，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）如果半徑的長(zhǎng)為3，tanD=，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OC，如圖，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．則∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，從而得到OC⊥DE，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）先在Rt△OCD中利用正切定義計(jì)算出CD=4，再利用勾股定理計(jì)算出OD=5，則sinD=，然后在Rt△ADE中利用正弦的定義可求出AE的長(zhǎng)．

試題解析：解：（1）連接OC，如圖．∵點(diǎn)C為弧BF的中點(diǎn)，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切線；

（2）在Rt△OCD中，∵tanD=，OC=3，∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sinD=，∴AE=．