Question

【題目】操作與證明：如圖，把一個含角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AC、AE、其中AC與EF交于點N，取AF中點M，連接MD、MN．

求證：是等腰三角形；

在的條件下，請判斷MD，MN的數量關系和位置關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據正方形性質得：AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF=90°，再根據等腰直角三角形得BE=DF，證明△ABE≌△ADF，得AE=AF，則△AFE是等腰三角形；

（2）先根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得：DM=AF，再由等腰三角形三線合一得：AC⊥EF，EN=FN，同理MN=AF，則DM=MN；可證∠FMD=2∠FAD，∠FMN==2∠FAC，

則∠DMN=∠DMF+∠FMN=2∠FAD +2∠FAC=2∠DAC=90°．即可得到DM⊥MN．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF=90°，

∵△EFC是等腰直角三角形，∴CE=CF，∴BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∴△AFE是等腰三角形；

（2）DM=MN，且DM⊥MN．理由是：

在Rt△ADF中，∵M是AF的中點，∴DM=AF，

∵EC=FC，AC平分∠ECF，

∴AC⊥EF，EN=FN，

∴∠ANF=90°，

∴MN=AF，∴MD=MN．

由（1）得：△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠FAD，

∵DM=AF=AM，∴∠FAD=∠ADM，

∴∠FMD=∠FAD+∠ADM=2∠FAD，

同理：∠FMN==2∠FAC，

∴∠DMN=∠DMF+∠FMN=2∠FAD +2∠FAC=2∠DAC=2×45°=90°．

∴MD⊥MN．