Question

一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖1所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．
（1）將拋物線放在所給的直角坐標系中（如圖2所示），其表達式是y=ax²+c的形式．請根據所給的數據求出a，c的值．
（2）求支柱MN的長度．
（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題目可知A．B，C的坐標，設出拋物線的解析式代入可求解．
（2）設N點的坐標為（5，y_N）可求出支柱MN的長度．
（3）設DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．做GH垂直AB交拋物線于H則可求解．
解答：解：（1）根據題目條件，A、B、C的坐標分別是（-10，0）、（10，0）、（0，6）．
將B、C的坐標代入y=ax²+c，得
解得．
所以拋物線的表達式是；

（2）可設N（5，y_N），于是．
從而支柱MN的長度是10-4.5=5.5米；

（3）設DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則G點坐標是（7，0），
（7=2÷2+2×3）．
過G點作GH垂直AB交拋物線于H，則yH=-×7²+6=3+＞3．
根據拋物線的特點，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．
點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．