Question

一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖1），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．
（1）將拋物線放在所給的直角坐標系中（如圖2），求拋物線的解析式；
（2）求支柱EF的長度；
（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據題目可知A，B，C的坐標，設出拋物線的解析式代入可求解．
（2）設F點的坐標為（5，y_F）可求出支柱MN的長度．
（3）設DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．做GH垂直AB交拋物線于H則可求解．

解答：解：（1）根據題目條件A，B，C的坐標分別是（-10，0），（10，0），（0，6），
設拋物線的解析式為y=ax²+c，
將B，C的坐標代入y=ax²+c，
得

6=c 0=100a+c

解得

a=- 3 50 c=6

．
所以拋物線的表達式y=-

3

50

x²+6．

（2）可設F（5，y_F），于是
y_F=-

3

50

×5²+6=4.5
從而支柱EF的長度是10-4.5=5.5米．

（3）設DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和，
則G點坐標是（7，0）．
過G點作GH垂直AB交拋物線于H，
則y_H=-

3

50

×7²+6=3.06＞3．
根據拋物線的特點，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．

點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．