Question

圖1為一銳角是30°的直角三角尺，其框為透明塑料制成（內、外直角三角形對應邊互相平行）．將三角尺移向直徑為4cm的⊙O，它的內Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′恰好與⊙O相切（如圖2），求直角三角尺的寬．

Answer 1

分析：過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC與A′C′，根據與平行線中的一條直線垂直，與另一條也垂直，得到OD與AC垂直，可得DE為三角尺的寬，由A′C′與圓O相切，根據切線的性質得到OD為圓的半徑，根據直徑AB的長，求出半徑OA，OB及OD的長，在直角三角形AOE中，根據∠A=30°，利用直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的長求出OE的長，再由OD-OE求出DE的長，即為三角尺的寬．

解答：解：設切點為D，連接OD，交AC于E，
∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′與⊙O相切，AB為圓O的直徑，且AB=4cm，
∴OD=OA=OB=

1

2

AB=

1

2

×4=2（cm），
在Rt△AOE中，∠A=30°，
∴OE=

1

2

OA=

1

2

×2=1（cm），
∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）
則三角尺的寬為1cm．

點評：此題考查了切線的性質，含30°直角三角形的性質，以及平行線的性質，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．