Question

已知：圖1為一銳角是30°的直角三角尺，其邊框為透明塑料制成(內、外直角三角形對應邊互相平行且三處所示寬度相等)．操作：將三角尺移向直徑為4cm的⊙O，它的內Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′ 恰好與⊙O相切(如圖2)。
思考：

【小題1】求直角三角尺邊框的寬
【小題2】求證：BB′C′+CC′B′=75°。
【小題3】求邊B′C′的長。

Answer 1

【小題1】過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，

∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′與⊙O相切，AB為圓O的直徑，且AB=4cm，
∴OD=OA=OB=AB=×4=2（cm），
在Rt△AOE中，∠A=30°，
∴OE=OA=×2=1（cm），
∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）
則三角尺的寬為1cm．（4分
【小題2】∵三角板的寬度是一樣大
∴BB′平分∠A′B′C′，C C′平分∠A′C′B′
∵∠A′B′C′=60°，∠A′C′B′=90°
∴BB′C′=30°，CC′B′=45°
∴BB′C′+CC′B′=75°（3分）
【小題3】B′C=.（3分）解析:
（1）OD為圓的半徑，利用Rt△AOE中，∠A=30°，算出OE的長，這樣就求出DE的長，即為三角尺的寬；
（2）根據三角形的寬度相等得出BB′、C C′是角平分線算出BB′C′、CC′B′的值，然后證出結論；
（3）利用三角函數性質計算出B′C的值