Question

已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°，
（1）如圖1，E為AB上任意一點，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，則有AD∥BC；
（2）若將等腰Rt△ABC改為正△ABC，如圖2所示，E為AB邊上任一點，△CDE為正三角形，連接AD，上述結論還成立嗎？答______；
（3）若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，如圖3，E為AB上任一點，△DEC∽△ABC，連接AD，請問AD與BC的位置關系怎樣？答：______．
請你在上述3個結論中，任選一個結論進行證明．

Answer 1

【答案】分析：欲證AD∥BC，可以根據等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質，證明△ACD∽△BCE，再證明AD與BC的內錯角相等，得出結論．
解答：解：（1）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=45°．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC=45°．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．

（2）∵△ABC和△DEC是正三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC=60°．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．
成立．

（3）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．
點評：觀察測量，然后進行推理證明，是數學知識發現的基本規律．本題考查了等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，平行線的判定．注意證明方式相同．