Question

（2013•江北區模擬）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，直角梯形AOCD的頂點A的坐標為（0，

3

），點D的坐標為（1，

3

），點C在x軸的正半軸上，過點O且以點D為頂點的拋物線經過點C，點P為CD的中點．
（1）求拋物線的解析式及點P的坐標；
（2）在y軸右側的拋物線上是否存在點Q，使以Q為圓心的圓同時與y軸、直線OP相切？若存在，請求出滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點M為線段OP上一動點（不與O點重合），過點O、M、D的圓與y軸的正半軸交于點N．求證：OM+ON為定值．
（4）在y軸上找一點H，使∠PHD最大．試求出點H的坐標．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線的頂點D的坐標為（1，

3

），所以可設設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+

3

，又因為函數圖象過原點，所以把（0，0）代入求出a的值即可求出拋物線的解析式，設y=0，則可求出拋物線和x軸的交點坐標，進而求出點P的坐標；
（2）在y軸右側的拋物線上存在點Q，使以Q為圓心的圓同時與y軸、直線OP相切，此題要分兩種情況討論：①若⊙Q在直線OP上方②若⊙Q在直線OP下方，再分別求出符合題意的Q點的坐標即可；
（3）由圓周角定理可證明MD=ND，進而證明△NAD≌△MPD（HL），由全等三角形的性質可得MP=AN，所以OM+ON=OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=

3

，則OM+ON=2

3

，即OM+ON為定值；       
（4）作過P、D兩點且與y軸相切于點H的圓S，則由圓周角大于圓外角可知，∠PHD最大，S（x，y），則由HS=SD=SP，繼而求出點H坐標．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點D的坐標為（1，

3

），
∴設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+

3

，
將（0，0）代入，得a+

3

=0，a=-

3

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

(x-1)2+

3

，
即 y=-

3

x2+2

3

x，
設y=0，則x=0或2，
∴點C的坐標為（0，2），
∵點P為CD的中點，
∴P(

3

2

，

3

2

)；

（2）在y軸右側的拋物線上存在點Q，使以Q為圓心的圓同時與y軸、直線OP相切，
理由如下：
①若⊙Q在直線OP上方，則Q與D點重合，此時Q₁(1，

3

)；
②若⊙Q在直線OP下方，與y軸、直線OP切于E、F，
則QE=QF，QE⊥y軸，QF⊥OP，
∴OQ平分∠EOF，
∵∠EOF=120°，
∴∠FOQ=60°，
∵∠POC=30°，則∠QOC=30°，
設Q(m，-

3

3

m)，則-

3

3

m=-

3

m2+2

3

m，
解得m₁=0（舍去），m2=

7

3

，
∴Q2(

7

3

，-

7 3

9

)；

（3）證明：∵在過點O、M、D的圓中，有∠MOD=∠NOD，
∴

MD

=

ND

，
∴MD=ND，
易得OD平分∠AOP，DA⊥y軸，DP⊥OP，
∴DA=DP，
可證得△NAD≌△MPD（HL），
∴MP=AN，
∴OM+ON=OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=

3

，
則OM+ON=2

3

，即OM+ON為定值；        

（4）作過P、D兩點且與y軸相切于點H的圓S，
則由圓周角大于圓外角可知，∠PHD最大．     
設S（x，y），則由HS=SD=SP，
可得，y=2

3

±6，
∵0＜y＜

3

，
∴H（0，2

3

-6）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、中點坐標公式、全等三角形的判定和性質、圓周角定理的運用、角平分線的性質以及考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法，題目的綜合性強，難度大，對學生的綜合解題能力要求很高．