Question

【題目】如圖，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上（與B，C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，得出以下結論：①AC＝FG；②S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQAC．其中正確結論的個數是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由正方形的性質得出∠FAD=90°,AD=AF=EF,證出∠CAD=∠AFG,由AAS證明△FGA≌△ACD,得出AC=FG,①正確;

證明四邊形CBFG是矩形,得出S△FAB= FB FG=S四邊形CBFG,②正確;

由等腰直角三角形的性質和矩形的性質得出∠ABC=∠ABF=45°,③正確;

證出△ACD∽△FEQ,得出對應邊成比例,得出AD FE=AD =FQ AC,④正確

解：∵四邊形ADEF為正方形，

∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，

∴∠CAD+∠FAG＝90°，

∵FG⊥CA，

∴∠GAF+∠AFG＝90°，

∴∠CAD＝∠AFG，

在△FGA和△ACD中，

，

∴△FGA≌△ACD（AAS），

∴AC＝FG，故①正確；

∵BC＝AC，

∴FG＝BC，

∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，

∴FG∥BC，

∴四邊形CBFG是矩形，

∴∠CBF＝90°，S△FAB＝ FBFG＝S四邊形CBFG，故②正確；

∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，

∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正確；

∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC：AD＝FE：FQ，

∴ADFE＝AD2＝FQAC，故④正確；

故選：D．