Question

【題目】已知P（a，y1），Q（1，y2）是拋物線y＝kx2+（2k+1）x+2（k是不等于0的常數）上的兩點．

（1）求證：無論k取任何實數時，關于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0總有實數根；

（2）當k＝1時，

①求拋物線y＝kx2+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個交點坐標，并畫出此條拋物線的草圖；

②若y1＞y2，請結合函數圖象確定實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①(﹣2，0)、(﹣1，0)，作圖見解析；②a＜﹣4或a＞1

【解析】

（1）計算的值，根據≥0可得結論；
（2）①先將k=1代入得：y=x2+3x+2，令y=0可以計算拋物線與x軸兩個交點坐標，并畫出拋物線；
②根據圖象找到Q關于對稱軸的對稱點A的坐標，可得a的取值范圍．

解：（1）kx2+（2k+1）x+2＝0，

＝（2k+1）2﹣4k×2＝4k2+4k+1﹣8k＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2≥0，

∴無論k取任何實數時，關于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0總有實數根；

（2）①當k＝1時，y＝kx2+（2k+1）x+2＝x2+3x+2，

當y＝0時，x2+3x+2＝0，

（x+1）（x+2）＝0，

x1＝﹣1，x2＝﹣2，

∴拋物線y＝kx2+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個交點坐標分別為（﹣2，0）、（﹣1，0），

列表如下：

x	-4	-3	-2	-	-1	0	1
y	6	2	0	﹣	0	2	6

描點、連線可得拋物線的草圖如圖所示：

②由y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣可知，

∴拋物線的對稱軸是：x＝﹣．

由對稱性得：點Q關于拋物線的對稱軸對稱的點A的坐標為（﹣4，y2），

∵P（a，y1），Q（1，y2）

∴若y1＞y2，實數a的取值范圍是a＜﹣4或a＞1．