Question

【題目】如圖，BC⊥y軸，BC＜OA，點A，點C分別在x軸、y軸的正半軸上，D是線段BC上一點，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，F分別是線段OA，AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°．將△AEF沿一條邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形，則線段OE的值為______．

Answer 1

【答案】或3或3．

【解析】

分類討論,根據AE、AF、EF為對稱軸進行翻折,展開討論,見詳解.

解：如上圖連接OD,過點B作BH⊥OA于H,

由題可知,BD=,OA=4,

∵∠DEF=45°．

∴BH=OC=,CD=,OD=3,

①如下圖

若沿著AE進行翻折,即EF=AF, 此時F落在x軸下方點N處,四邊形ANEF為正方形

∴∠A=∠AEF=45°,△AEF為等腰直角三角形,

∵∠DEF=45°,

∴DE⊥OA,

∴△OED是等腰直角三角形,OD=AB=3,

∴OE=,

②若沿著AF進行翻折,即AE=EF,此時點F與B重合,E點落在N點處,如下圖

此時∠BDE=45°,四邊形ABDE是平行四邊形,

∴AE=BD=,

∴OE=OA-AE=4=3,

③若沿著EF進行翻折,即AE=AF,如下圖

∵∠A=45°,

∴此時△EAF為等腰直角三角形,

∵易證△DOE∽△AEF

∴OE=OD=3

綜上,OE=或3或3．