Question

設拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于兩個不同的點A（-l，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）問拋物線上是否存在一點M，使得S_△ABM=2S_△ABC？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=-x-1交拋物線于另一點E．
①求tan∠ABD的值：
②若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）把三個點分別代入解析式，再聯立求解，即可解出a、b、c的值，代入原函數解析式．
（2）先假設存在這樣的一個點，再根據實際情況看假設是否成立．
（3）①先求得D點的坐標，再根據三角形的相關性質求解角度．
②兩三角形相似存在兩種情況：

BP

AB

=

BD

AE

或者 

BP

AE

=

BD

AB

，根據這兩種情況分別列出方程是求解．

解答：解：（1）把三點分別代入后求解可得：
a=-

1

2

，b=

3

2

，c=2；
代入后得此函數解析式為：y=-

1

2

x2+ 

3

2

x+2；

（2）假設存在這樣的點M，使得S_△ABM=2S_△ABC
假設點M的坐標為：（x_M，y_M），
所以有：

1

2

•AB•h=2•

1

2

•AB•2，
其中h是三角形ABM AB 邊上的高等于y_M的絕對值，解得h=4，
二次函數解析式y=-

1

2

x2+ 

3

2

x+2的最大值是3

1

8

＜4，
故x軸的上方不存在這樣的M點，
所以有y_M=-4，即有y=-

1

2

x2+ 

3

2

x+2=-4，
解得：x=

3+ 57

2

或者

3- 57

2

，
即M點的坐標為（

3+ 57

2

，-4）或者（

3- 57

2

，-4）；

（3）①D（1，n）代入原函數解析式得：n=3
所以D點坐標為（1，3），
過點D作垂線DF⊥x軸，可得tan∠ABD=

3

4-1

=1，
②由y=-x-1和y=-

1

2

x2+ 

3

2

x+2；聯立求解得：
x=-1 y=0 或者 x=6 y=-7；
所以點E的坐標為（6，-7），
過點E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），
所以AH=EH=7，∠EAH=45°，又因為tan∠ABD=

3

4-1

=1，故∠DBF=45°
所以∠EAH=∠DBF，且有∠DBH=135°
90°＜∠EBA＜135°，則點P只能在點B的左側，即有以下兩種情況：
1）△DBP∽△EAB，則有：

BP

AB

=

BD

AE

，
所以BP=

AB•BD

AE

=

15

7

，故OP=4-

15

7

=

13

7

，
所以點P坐標為（

13

7

，0）
2）△DBP∽△BAE，則有

BP

AE

=

BD

AB

，
所以BP=

AE•BD

AB

=

42

5

，
OP=

42

5

-4=

22

5

，
所以點P的坐標為（-

22

5

，0），
綜上所述點P坐標為（

13

7

，0）或者（-

22

5

，0）．

點評：本題主要考查了二次函數的性質以及函數解析式的確定，還涉及到了三角形面積等相關知識．