Question

如圖，設拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于兩個不同的點A（-1，0），B（m，0），與y軸交于點C（0，-2），且∠ACB=90度．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E，求點D和點E的坐標；
（3）在x軸上是否存在點P，使以點P，B，D為頂點的三角形與三角形AEB相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）∠ACB=90°，那么可在直角三角形ACB中，用射影定理求出OB的長，即可得出m的值和B點的坐標．然后將A、B、C三點坐標代入拋物線中即可求出這個二次函數的解析式．
（2）將點D代入拋物線中，即可求得點D的坐標．然后聯立拋物線和直線y=x+1的函數關系式可求出E點的坐標．
（3）可根據A和E的坐標求出AE的長，同理可求出AB的長，不難得出∠EAB=∠OBD=45°，那么要想使兩三角形相似，無非有兩種情況：

EA

DB

=

AB

PB

或

EA

PB

=

AB

DB

，可根據AE、AB、BD的長求出PB的長，進而可求出OP的長，也就得出了P點的坐標．

解答：解：（1）在直角△ABC中，
∵CO⊥AB
∴OC²=OA．OB
∴2²=1×m即m=4
∴B（4，0）．
把A（-1，0）B（4，0）分別代入y=ax²+bx-2，
并解方程組得a=

1

2

，b=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）把D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2得n=-3，
∴D（1，-3）
解方程組

y=x+1 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
得

x1=6 y1=7

x2=-1 y2=0

，
∴E（6，7）．

（3）作EH⊥x軸于點H，則EH=AH=7，
∴∠EAB=45°
由勾股定理得：BE=

53

，AE=7

2

，
作DM⊥x軸于點M，則DM=BM=3，
∴∠DBM=45°由勾股定理得BD=3

2

．
假設在x軸上存在點P滿足條件，
∵∠EAB=∠DBP=45°，
∴

EA

DB

=

AB

PB

或

EA

PB

=

AB

DB

，
即

7 2

3 2

=

5

PB

或

7 2

PB

=

5

3 2

，
∴PB=

15

7

或PB=

42

5

，OP=4-

15

7

=

13

7

或OP=4-

42

5

=-

22

5

．
∴在x軸上存在點P₁（

13

7

，0），P₂（-

22

5

，0）滿足條件．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、相似三角形的判定和性質等知識點，要注意（3）中要根據相似三角形對應邊的不同來分類求解，不要漏解．