Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發，沿DC向點C勻速運動，速度為3m/s，以O為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發，設它們的運動時間為t（單位：s）（0＜t＜）．

（1）如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為 ；

（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；

（3）在運動過程中，當直線MN與⊙O相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】(1) t=1；(2) t=s時，△CMQ是以CQ為底的等腰三角形;(4) ，當直線MN與⊙O相切時，t的值是s或s．

【解析】

試題分析：（1）根據速度和時間表示PB=4t，利用同角的三角函數列式為：tan∠DBC= ，得PQ=3t；則BQ=5t，根據角平分線的性質得：CQ=PQ，列方程可得結果；（2）如圖2中，作MT⊥BC于T，由等腰三角形三線合一得：TQ=（8﹣5t），證明△QTM∽△BCD，列比例式得，代入可得方程，解方程即可；（3）由題意∠OEF=∠DEN=∠ADB，則sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，分兩種情況：①若點O在正方形外MN與⊙O相切，如圖3所示，根據同角的三角函數列式可得結果；②若點O在正方形內MN與⊙O相切，如圖4所示，同理列式：，解出即可．

試題解析：（1）由題意得：PB=4t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=90°

∵PQ⊥BC

∴∠BPQ=90°

∵BC=AD=8，CD=6

∴tan∠DBC=

∴

∴PQ=3t

由勾股定理得：BQ=5t

∴CQ=BC﹣BQ=8﹣5t，

∵DQ平分∠BDC，DC⊥BC，

∴CQ=PQ，

則8﹣5t=3t，

t=1；

故答案為：1；

（2）如圖2中，作MT⊥BC于T，

∵MC=MQ，MT⊥CQ，

∴TC=TQ，

由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=PQ=3t，

∵四邊形PQMN為正方形，

∴MQ∥PN，

∴∠MQT=∠DBC，

∴△QTM∽△BCD，

∴，

∴，

∴t=（s）；

∴t=s時，△CMQ是以CQ為底的等腰三角形；

（3）設MN與⊙O相切于點F，與CD交于點E，則OF=0.8，

由題意∠OEF=∠DEN=∠ADB，

∴sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，

∴ ，

∴，

∴OE= ，

①若點O在正方形外MN與⊙O相切，如圖3所示，

∵OD=3t，

∴DE=3t+，

∵BP=4t，NP=PQ=3t，

∴DN=10﹣7t，

∴，

∴t=；

②若點O在正方形內MN與⊙O相切，如圖4所示，

∵OD=3t∴DE=3t﹣，

∵BP=4t，NP=PQ=3t，

∴DN=10﹣7t，

∴，

∴t=，

綜上所述，當直線MN與⊙O相切時，t的值是s或s．