Question

【題目】直覺的誤差：有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2．把這些紙片按圖1所示剪開成四小塊，其中兩塊是三角形，另外兩塊是梯形．把剪出的4個小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個13cm×5cm的長方形，面積是65cm2，面積多了1cm2，這是為什么？

小明給出如下證明：如圖2，可知，tan∠CEF＝，tan∠EAB＝，∵tan∠CEF＞tan∠EAB，∴∠CEF＞∠EAB，∵EF∥AB，∴∠EAB+∠AEF＝180°，∴CEF+∠AEF＞180°，因此A、E、C三點不共線．同理A、G、C三點不共線，所以拼合的長方形內部有空隙，故面積多了1cm2

（1）小紅給出的證明思路為：以B為原點，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，證明三點不共線．請你幫小紅完成她的證明；

（2）將13cmx13cm的正方形按上述方法剪開拼合，是否可以拼合成一個長方形，但面積少了1cm2？如果能，求出剪開的三角形的短邊長；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) 5cm

【解析】

(1)以B為原點，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，在Rt△EFC中，求出EC的長，在直角梯形ABFE中，求出AE長，若A、E、C三點共線，則在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC長，比較AC與AE+EC的大小即可得出結論；

(2)設剪開的長方形短邊長為xcm，根據題意可得關于x的方程，解方程即可求得答案.

(1)以B為原點，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，

在Rt△EFC中，EC＝，

在直角梯形ABFE中，過點E作EM⊥AB，則四邊形BFEM是矩形，

∴BM=EF=3，

∴AM=5-3=2，

∴AE＝，

若A、E、C三點共線，則在Rt△ABC中，

AC＝，

∵，

∴A、E、C三點共線不共線，

∴所以拼合的長方形內部有空隙；

(2)設剪開的長方形短邊長為xcm，

根據題意可得：

(13﹣x)(13+13﹣x)＝13×13﹣1，

∴x2﹣39x+170＝0，

∴x＝5或x＝34(舍)，

∴可以拼成成一個長方形，但面積少了1cm2，剪開的三角形的短邊長是5cm.