Question

已知；如圖，⊙O₁與⊙O₂內切于點A，⊙O₂的直徑AC交⊙O₁于點B，⊙O₂的弦FC切⊙O₁于點D，AD的延長線交⊙O₂于點E，連接AF、EF、BD．
（1）求證：AC•AF=AD•AE；
（2）若O₁O₂=9，cos∠BAD=

2

3

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接O₁D，由FC是⊙O₁的切線，AC是⊙O₂的直徑，即可證得AF∥O₁D，又由O₁A=O₁D，易證得∠FAD=∠DAC，然后由同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，即可證得△AEF∽△ACD，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得AC•AF=AD•AE；
（2）首先連接EC，由AB是⊙O₁的直徑，AC是⊙O₂的直徑，可得

AD

AB

=

AE

AC

=

2

3

，又由⊙O₁與⊙O₂內切，O₁O₂=9，可得AC-AB=18，然后由DE=AE-AD=

2

3

AC-

2

3

AD求得答案．

解答：（1）證明：連接O₁D，
∵FC是⊙O₁的切線，
∴O₁D⊥FC，
∴AC是⊙O₂的直徑，
∴∠AFC=90°，
∴AF⊥FC，
∴AF∥O₁D，
∴∠FAD=∠AD0₁，
∵O₁A=O₁D，
∴∠O₁AD=O₁DA，
∴∠FAD=∠DAC，
∵∠E=∠C，
∴△AEF∽△ACD，
∴

AE

AC

=

AF

AD

，
∴AC•AF=AD•AE；

（2）解：連接EC，
∵AB是⊙O₁的直徑，AC是⊙O₂的直徑，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵cos∠BAD=

2

3

，
∴

AD

AB

=

AE

AC

=

2

3

，
∴AD=

2

3

AB，AE=

2

3

AC，
∵⊙O₁與⊙O₂內切，O₁O₂=9，
∴0₂A-O₁A=9，
∴AC-AB=18，
∴DE=AE-AD=

2

3

AC-

2

3

AD=

2

3

（AC-AD）=

2

3

×18=12．

點評：此題考查了圓的切線的性質，兩圓內切的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．此題難度較大，解題的關鍵是注意輔助線的作法，注意數形結合思想與轉化思想的應用．