Question

【題目】如圖，點C是等邊△ABD的邊AD上的一點，且∠ACB＝75°，⊙O是△ABC的外接圓，連結AO并延長交BD于E、交⊙O于F．

（1）求證：∠BAF＝∠CBD；

（2）過點C作CG∥AE交BD于點G，求證：CG是⊙O的切線；

（3）在（2）的條件下，當AF＝2時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）2﹣．

【解析】

（1）利用已知條件分別求出∠BAF＝15°，∠CBD＝15°，即可證明∠BAF＝∠CBD；

（2）過點C作CG∥AE交BD于點G，連接CO，∠CAF＝∠CAB﹣∠BAF＝60°﹣15°＝45°，∠ACF＝90°，所以∠CFA＝45°，CA＝CF，CO⊥AF，由CG∥AE，所以CO⊥CG，因此CG是⊙O的切線；

（3）證明△DCG∽△ABC，然后利用相似比求的值．

解：（1）如圖，連接CF．

∵AF為直徑，

∴∠ACF＝90°，

∵∠ACB＝75°，

∴∠BCF＝90°﹣75°＝15°，

∴∠BAF＝15°，

∵△ABD為等邊三角形，

∴∠D＝∠DAB＝∠DBA＝60°，

∴∠CBD＝∠ACB﹣∠D＝75°﹣60°＝15°，

∴∠BAF＝∠CBD；

（2）過點C作CG∥AE交BD于點G，連接CO，

∵∠CAF＝∠CAB﹣∠BAF＝60°﹣15°＝45°，

∠ACF＝90°，

∴∠CFA＝45°，

∴CA＝CF，

∴CO⊥AF，

∵CG∥AE，

∴CO⊥CG，

∴CG是⊙O的切線；

（3）作CH⊥AB于H，

∵AF＝，

∴AC＝CF＝AF＝2，

在△ACB中，

∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，

∴∠ACH＝30°，∠HCB＝∠HBC＝45°，

∴AH＝AC＝1，CH＝，AH＝，BH＝CH＝，

∴AB＝AH+BH＝1+，

∴AD＝AB＝，CD＝AD﹣AC＝

∵CG∥AE，

∴∠DCG＝∠CAF＝45°，

在△DCG與△ABC中，

∠DCG＝∠ABC＝45°，∠D＝∠CAB＝60°，

∴△DCG∽△ABC，

∴，

∴的值為．