Question

【題目】在數學研究課上，老師出示如圖1所示的長方形紙條，，，然后在紙條上任意畫一條截線段，將紙片沿折疊，與交于點，得到，如圖2所示：

（1）若，求的大小；

（2）改變折痕位置，判斷的形狀，并說明理由；

（3）愛動腦筋的小明在研究的面積時，發現邊上的高始終是個不變的值．根據這一發現，他很快研究出的面積最小值為，求的大小；

（4）小明繼續動手操作，發現了面積的最大值，請你求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）∠MKN=40°；（2）等腰三角形；（3）45°或135°；（4）△MNK的面積最大值為1.3.

【解析】

（1）根據矩形的性質和折疊的性質求出∠KNM，∠KMN的度數，根據三角形內角和即可求解；

（2）利用翻折變換的性質以及兩直線平行內錯角相等得出KM=KN；

（3）利用當△KMN的面積最小值為時，KN=BC=1，故KN⊥B′M，得出∠1=∠NMB=45°，同理當將紙條向下折疊時，∠1=∠NMB=135°；

（4）分情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合；情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC兩種情況討論求解．

（1）如圖1，

∵四邊形ABCD是長方形，

∴AM∥DN，

∴∠KNM=∠1，

∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，

∴∠MKN=40°；

（2）等腰三角形，理由如下：

∵AM∥BN，∴∠1=∠MND，

∵將紙片沿MN折疊，∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，

∴KM=KN，

故的形狀是等腰三角形；

（3）如圖2，當△KMN的面積最小值為時，KN=BC=1，故KN⊥B′M，

∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，

∴∠1=∠NMB=45°，

同理當將紙條向下折疊時，∠1=∠NMB=135°，

所以∠1的度數為45°或135°；

（4）分兩種情況：

情況一：如圖3，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合，

MK=MB=x，則AM=5﹣x，

由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2，

解得x=2.6，

∴MD=ND=2.6，

S△MNK=S△MND=×1×2.6=1.3；

情況二：如圖4，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC，

MK=AK=CK=x，則DK=5﹣x，

同理可得MK=NK=2.6，

∵MD=1，

∴S△MNK=×1×2.6=1.3，

所以△MNK的面積最大值為1.3.